Statistická regulace měřením

17.7.1

Statistická regulace měřením

REGULAČNÍ DIAGRAM ¯x-R

Regulační diagram ¯x-R zobrazuje proces pomocí parametrů výběrový průměr a výběrové rozpětí. Potřebná data z procesu se získávají měřením. Systém sběru dat je založen na periodicky opakovaném měření řízené veličiny, přičemž počet opakování se volí od 2 do 10 (rozsah výběrového souboru n = 2 ÷ 10). Měření se provede na zvoleném počtu za sebou jdoucích výstupů z procesu ("výrobků“) a v tomto pořadí se výsledky zaznamenají do tabulky ve formuláři pro regulační diagram. Uchování dat v časovém rozlišení je důležité pro samotný princip regulace (reakce na časovou změnu řízené veličiny), ale také pro zpětnou analýzu vymezitelných příčin, které se mohou v procesu projevit. Základní pravidla pro zpracování regulačních diagramů jsou vyložena v předchozí kapitole. Obecně je postup při statistické regulaci procesu měřením nutno rozčlenit do tří postupných etap:

 NahoruEtapy statistické regulace procesu

• identifikace statistické regulace procesu - proces je nebo není statisticky zvládnutý, které vymezitelné příčiny v něm působí;

• stabilizování procesu - eliminace vymezitelných příčin s cílem dosažení stavu statisticky zvládnutého procesu (dovést proces "pod kontrolu“);

• regulace procesu - průběžné sledování procesu a jeho udržování ve statisticky zvládnutém stavu (proces je "pod kontrolou“).

 NahoruStatistická identifikace procesu

Konkrétní postup při vedení a vyhodnocování regulačního diagramu je účelné rozdělit do dílčích kroků. Následující text popisuje využití regulačního diagramu v první etapě statistické regulace - statistické identifikaci procesu. Vstupem pro tuto etapu je seznam znaků výrobku, pro něž mají být vedeny regulační diagramy - volba znaků byla náplní systémové analýzy procesu. Při operativním plánování statistické regulace je nutné určit:

• rozsah výběrového souboru (rozsah výběru), tj. velikost tzv. logické podskupiny výsledků měření;

• periodu mezi měřením výběrů.

Počet opakování měření (rozsah výběru n) zpravidla volíme jako n = 5, nejsou-li známy žádné priority pro stanovení jiného rozsahu. Např. v elektrárnách se měří okamžitý výkon po 10 min., tj. 6krát za hodinu, proto zde bude výhodné uvažovat n = 6.

Periodu mezi výběry lze stanovit různými způsoby. V sériových procesech, kde vznikají statistické soubory velkých rozsahů, lze periodu stanovit tak, že provedená měření představují kontrolu určitého procenta výrobků (výběrová kontrola) - např. 5 % nebo 10 % apod. Orientačně lze tuto periodu stanovit pomocí vztahu:

kde:

Δt délka periody mezi výběrovými měřeními,

n rozsah výběru,

Q počet výrobků zpracovaných za hodinu,

v rozsah kontroly (procento zkontrolovaných výrobků z celkového množství).

Příklad: n = 5, Q = 30, v = 10 % => Δt = 100 min. Pro vedení regulačního diagramu bude každých 100 min. provedeno měření 5 za sebou jdoucích výrobků.

Obráceně lze z primárně určené periody kontrol určit procento zkontrolovaných výrobků.

Příklad: Z praktických důvodů byla volena perioda kontrol Δt = 1 h (60 min.). Rozsah výběru n = 5, Q = 30 => v = 16,7 %.

Jiné hledisko pro stanovení periody může být uplatněno v procesu, kde hodnoty výstupní (regulované) veličiny znázorněné v podobě časové řady mají periodicky proměnný průběh (vlna); periodu mezi výběry je nutné volit tak, aby celkový statistický soubor tvořený několika výběry byl náhodný (nevychýlený) => periodu mezi výběry zásadně volíme různou od periody vlny výstupní veličiny. V některých procesech je výstupní veličina, která byla zvolena jako znak jakosti procesu měřena průběžně a výsledky jsou zaznamenávány jako souvislá časová řada. Také zde lze uplatnit regulační diagram - výsledky se zapisují do tabulky formuláře pro regulační diagram v podskupinách o zvoleném rozsahu. Jak patrno, volba periody je plně v pravomoci manažera, který plánuje aplikaci regulačního diagramu. Podmínkou nutnou a postačující je, aby jednotlivé hodnoty měřené veličiny bylo možno považovat za nezávislé pokusy.

 NahoruPočet výběrových podskupin

Počet výběrových podskupin (rozsah formuláře) se stanovuje tak, aby celkový počet zaznamenaných hodnot představoval statistický soubor, který dovoluje přijímat závěry s požadovanou spolehlivostí (P = 99,73 %). To je soubor o rozsahu alespoň 100 individuálních hodnot. Je ustáleným pravidlem používat formuláře pro 25 podskupin. Při rozsahu výběru (podskupiny) n = 5 to představuje soubor o rozsahu 5 × 25 = 125 individuálních hodnot.

 NahoruSběr dat

Krok 1: sběr dat

K tomuto účelu se použije formulář prvního typu (pro ¯x-R). Výsledky měření se zapisují v časové posloupnosti do tabulky. Každý výběr se zaznamená do příslušného sloupce. Z naměřených hodnot se vypočítá výběrový průměr a výběrové rozpětí. Pro n = 5 to znamená:

R = x_(n) – x₍₁₎ (největší hodnota ve výběru minus nejmenší).

Obě vypočtené hodnoty se zaznamenají do grafu - prvotní stadium regulačního diagramu ukazuje obrázek:

Postupným doplňováním dalších výsledků měření se získá průběhový graf (spojnicový graf) - vyplněný formulář ukazuje další obrázek. Pro úspěch aplikace regulačních diagramů je nezbytné, aby sběr dat byl systematický - vše, co bylo naměřeno, musí být zaznamenáno; měření nesmí být přerušeno (proto při plánování statistické regulace musejí být uváženy všechny možné překážky a přijata příslušná opatření). Systematickým zaznamenáváním se rozumí důsledné dodržování operačního (ne kalendářního) času - viz obrázky, řádek "čas“. Je-li provoz jednosměnný - navazují na sebe časy odpovídající jedné směně; volná sobota, neděle, svátky znamenají přerušení souvislé řady kalendářních dat, ale plynulé pokračování operačního času.

 NahoruUrčení regulačních mezí

Krok 2: určení regulačních mezí

Nejprve je nutno vypočítat průměrné hodnoty procesu, tj. aritmetický průměr všech naměřených hodnot a průměrné rozpětí:

Při menším počtu výběrů (např. proto, že rozsah výběru n je větší) budou horní vzorce obsahovat příslušně menší počet sčítanců v čitateli a odpovídající číslo ve jmenovateli. Počet výběrů k se volí mezi 16 (pro n = 10) až 25 (pro n = 2). Obě hodnoty se zakreslí do grafu - viz obrázek. Tím se průběhový diagram přichytí ke střední čáře a lze činit první dílčí závěry o chování procesu vůči střední hodnotě.

Regulační meze pro regulovanou veličinu x se stanoví podle vztahů:

Obdobně se stanoví regulační meze pro rozpětí:

Potřebné hodnoty koeficientů nalezneme v tabulce pro daný rozsah výběru n:

Pro n ≤ 6 jsou hodnoty D₃ záporné; pro R, které je definované jako vždy kladné, nemají smysl, proto se dolní regulační mez klade rovna 0.

V demonstračním příkladu platí:

Vypočtené hodnoty regulačních mezí ze zakreslí do grafu. Tím se vymezí tzv. konfidenční interval pro regulovanou veličinu ¯x a rozpětí R.

 NahoruHodnocení procesu podle regulačního diagramu

Krok 3: hodnocení procesu podle regulačního diagramu

Při hodnocení procesu se uplatní série testů, které jsou uvedeny v rámci společných pravidel pro statistickou regulaci. Nejprve se testuje diagram pro rozpětí. Není-li identifikována žádná vymezitelná příčina, lze považovat nalezenou hodnotu průměrného rozpětí za konstantu a náhodný (stochastický) proces za stabilní z hlediska rozptylu. Praktický význam tohoto zjištění spočívá v tom, že lze se spolehlivostí 99,73 % předpokládat, že pro všechny možné hodnoty výstupů z procesu platí stejný zákon rozdělení pravděpodobností.

V příkladu, který slouží v této příručce jako demonstrační je výše uvedená podmínka splněna - v diagramu pro rozpětí nejsou příznaky vymezitelných příčin.

Stejnému testování se podrobí i část diagramu pro výběrový průměr ¯x. Ze všech osmi testů je v demonstračním příkladu sedm negativních; první test - jeden bod leží mimo regulační meze. Proto je nutno konstatovat, že proces není statisticky zvládnutý.

 NahoruEtapa stabilizace procesu

Následuje etapa stabilizace procesu - s využitím zejména Ishikawova diagramu analýzy příčin a následků a Paretovy analýzy pro určení životně důležitých příčin. Eliminací příčin se dosáhne zlepšení procesu, což se musí projevit tím, že regulační diagram nemá příznaky podle žádného z uvedených osmi testů. Takový proces je naplánován, dokumentován a nastaven tak, že 99,73 % výrobků dosahuje hodnoty u řízených parametrů uvnitř regulačních mezí. Takový proces se nazývá statisticky zvládnutý. Znamená to, že takto řízený proces produkuje výstupy s předvídatelnými hodnotami - 99,73 % těchto výstupů nepřekročí regulační meze.

 NahoruHodnocení způsobilosti procesu

Krok 4: hodnocení způsobilosti (statisticky zvládnutého) procesu

Od chvíle, kdy je proces pod kontrolou (pracuje v rámci regulačních mezí), má smysl provést závěrečné hodnocení, jak tento statisticky ustálený proces splňuje podmínky zadání. Zadání tvoří zpravidla údaj o požadované - směrné hodnotě - parametru, který je znakem jakosti výrobku, a tudíž i procesu, doplněný údajem o přípustném kolísání hodnot řízeného parametru kolem směrné hodnoty - tolerance. Je logické, že průměrná hodnota procesu by se měla blížit hodnotě směrné a rozptýlení hodnot (vyjádřené pomocí směrodatné odchylky) by nemělo přesahovat povolenou toleranci. Tyto představy je nutné kvantifikovat. Děje se tak výpočtem indexu způsobilosti procesu. Ten se určuje ve dvou variantách:

• index způsobilosti c_p,

• kritický index způsobilosti c_pk.

 NahoruSměrodatná odchylka

Nejprve je třeba určit parametr rozptýlení - směrodatnou odchylku. U probírané varianty regulačního diagramu máme k dispozici jako míru rozptýlení průměrné rozpětí ¯R. Proto se odhad směrodatné odchylky provede ve vztahu k této hodnotě (kvůli odlišení od jiných způsobů odhadu se používá symbol "sigma se stříškou“):

kde koeficient d₂ nalezneme v tabulce v závislosti na rozsahu výběru n.

V demonstračním příkladu je ˆσ = 0,32 (předpokládáme, že byly provedeny kroky k eliminaci příčin vedoucích k překročení regulační meze a proces je dále pod kontrolou).

Důležité upozornění: směrodatná odchylka ˆσ se vztahuje k rozptylu jednotlivých měření. Proto ji lze srovnávat se zadanými tolerancemi. Regulační meze v diagramu pro ¯x jsou odvozeny z rozptylu aritmetického průměru. Rozptyl aritmetického průměru souboru o roz sahu n je právě n-krát menší než rozptyl jednotlivých hodnot.

Index způsobilosti je poměr mezi délkou tolerančního intervalu a délkou konfidenčního intervalu T = USL – LSL pro jednotlivá měření, který lze vyjádřit pomocí násobků ˆσ; v současné době je požadována spolehlivost 99,73 %, což odpovídá délce intervalu 6 ˆσ. Je-li splněn předpoklad shody směrné a průměrné hodnoty procesu, pak lze posoudit způsobilost procesu jednoduše a přímo jako podíl zmíněných intervalů, tedy:

Aby mohl být proces považován za způsobilý, musí být c_p ≥ 1,33.

V demonstračním příkladu jsou zadány následující hodnoty:

směrná hodnota x₀ = 3,5,

horní toleranční mez USL = 4,2,

dolní toleranční mez LSL = 2,8,

index způsobilosti c_p = 0,73 < 1,33!

Závěr - proces je statisticky zvládnutý, avšak není způsobilý, poněvadž část jeho výstupů soustavně překračuje meze tolerance. Obsah tohoto tvrzení vysvětluje obrázek, kde jsou znázorněny toleranční meze a různé varianty přesnosti procesu.

Index způsobilosti poskytuje správnou informaci pouze tehdy, když =x → x₀. Tato podmínka je málokdy splněna. Proto doporučujeme následující varianty interpretace:

• c_p < 1,33 => kontaktovat kompetentního pracovníka, zda nelze změnit toleranční meze;

• c_p ≥ 1,33, avšak =x ≠ x₀ => opatření vedoucí k centrování procesu (=x → x₀);

• při plánování nového procesu nebo jeho změny se využije odhad c_p ze zadaných tolerancí a známé přesnosti podobného procesu v minulosti k posouzení způsobilosti plánovaného procesu.

 NahoruKritický index způsobilosti cpk

Úplnou informaci o způsobilosti, tedy i při respektování určité excentricity

poskytuje tzv. kritický index způsobilosti c_pk. Způsob jeho odvození ukazuje obrázek.

Nejprve je nutno určit souřadnice tolerančních mezí vůči souřadnému systému s počátkem v průměrné hodnotě procesu

V demonstračním příkladu vychází:

z_U = 2,44; z_L = 1,94 => zk = 1,94; c_pk = 0,65 < 1,33!

Závěr: Proces není způsobilý.

V takovém případě nestačí operativní opatření ke zlepšení procesu, ale musí se přistoupit k systémovým opatřením - např. investicím do nového zařízení.

 NahoruRegulace procesu

U procesu dovedeného pod statistickou kontrolu a k technické způsobilosti může nastoupit třetí etapa - regulace procesu pomocí formuláře, do něhož jsou předkresleny čáry středních hodnot a regulačních mezí. Operátor provádí záznamy a příslušné zásahy podle pokynů ve směrnici pro řízení procesu. Příprava formuláře je součástí plánování procesu, jeho vedení a používání v procesu je náplní operativního řízení procesu a zcela vyplněný formulář je záznamem, který slouží k archivaci údajů z průběhu procesu.

Bude-li k provádění statistické regulace procesů využíváno počítačového softwaru (např. Minitab), uskuteční se výše řečené následovně:

• první dvě etapy (analýza, uvedení do statisticky zvládnutého stavu) využívají nastavení softwaru pro zpracování podkladů (výsledky pozorování);

• třetí etapa (regulace procesu) - před zpracováním dat se zadají hodnoty aritmetického průměru sledovaného znaku =

  

  a průměrného rozpětí ¯R. Průběžně vkládané výsledky pozorování budou nyní porovnávány s hodnotami, jež byly v předešlých etapách shledány jako vyhovující jak z hlediska statistické stability, tak technické způsobilosti. Odchylky vůči nim signalizují přítomnost vymezitelných příčin a jsou impulsem ke zlepšování procesu.

Regulační diagram je velmi vydatným nástrojem, který umožňuje včasné odhalení přítomnosti vymezitelných příčin, způsobujících nestabilitu procesu.

REGULAČNÍ DIAGRAM ¯x-s

Tento regulační diagram je podobný regulačnímu diagramu ¯x-R. Byl vyvinut pro zpracování souborů dat získaných měřením. Je výhodný v případech, kdy je v procesu k dispozici zařízení pro automatické měření, záznam a zpracování naměřených dat. Minimálním požadavkem pro efektivní aplikaci tohoto regulačního diagramu je výpočetní technika pro rychlé zpracování dat. Vypovídací hodnota parametru "směrodatná odchylka s“ je tím vyšší, čím větší je rozsah souboru. Při operativním řízení procesů musí být rozhodnuto mezi rychlostí získání podkladů pro rozhodování a přesností těchto podkladů. Vyšší přesnosti se dá dosáhnout jen za cenu většího rozsahu souboru, čímž se však prodlužuje čas potřebný ke zpracování. Aby mělo použití metody ¯x-s praktický smysl, používá se horní část dopo ručeného rozsahu výběrového souboru, tj. n = 8 ÷ 10.

 NahoruEtapy regulace procesu

Formulář pro aplikaci regulačního diagramu je podobný jako…